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数

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho07/tokyo/zenki/sugaku_ri/images/mon.pdf
[1] k=1 のとき。
(1+x)P(x)のn次以下の係数は全て整数とする。
P(x) のj次の係数を a_j とすると、(1+x)P(x) のn次以下の係数は、次数の小さい方から順に
a_0, a_0+a_1, a_1+a_2, ..., a_{n-1}+a_n
であり仮定から全て整数なので、a_0は整数。a_1 = (a_0+a_1)-a_0 は整数。…a_n = (a_{n-1}+a_n)-a_{n-1}は整数。
となるから、P(x)のn次以下の係数は全て整数である。

一般のk>1のとき。
P(x)を次数n以上の整式、(1+x)^kP(x)はn次以下の係数が全て整数とする。
(1+x)^{k-1}P(x)は次数n以上の整式なのでk=1のときを適用できて、(1+x)^{k-1}P(x)はn次以下の係数が全て整数である。
これをk回繰り返せば、P(x)のn次以下の係数は全て整数である。

[2] 各kについて △OP_{k-1}P_k は相似な三角形で、
比は P_{k-1}P_k : P_kP_{k+1} = 1 : 1+1/n であるから、
a_k = (1+1/n)^{k-1} P_0P_1
s_n = \sum_{k=1}^n (1+1/n)^k P_0P_1 = {(1+1/n)^n - 1}nP_0P_1

b_n = P_0P_1とおくと
(nb_n)^2 = n^2{1^2 + (1+1/n)^2 - 2(1+1/n)\cos(\pi/n)}
= 2(n^2+n)(1- \cos(\pi/n))+1
= \pi^2(1+1/n) (2n/\pi)^2 \sin^2(\pi/2n) + 1 -> \pi^2+1

よって \lim s_n = (e-1)\sqrt{\pi^2+1}

[3] 点(a,b)に対応するPを(t,t^2)、Qを(s,s^2)とすると、
a=(2t+s)/3, b=(2t^2+s^2)/3
これを満たすt,sが -1 \leq t,s \leq 1 に存在することが点(a,b)がDに属するための必要十分条件である。
s を消去して
b = 2t^2-4at+3a^2 = 2(t-a)^2+a^2
-1 \leq t \leq 1 かつ 3a-1 \leq 2t \leq 3a+1
となる、tが存在することと同値である。

これは f(t) = 2(t-a)^2 +a^2 の値域に b が入ることと同値である。
(i) a < -1 or 1 < a のときDに属さないのは明らかである。
(ii) -1 <= a <= -1/3 のとき、-1 <= t <= (3a+1)/2 より
f(a) = a^2 が最小値であり、f(-1) = 3a^2+4a+2 が最大値
a^2 <= b <= 3a^2 + 4a + 2
(iii) -1/3 < a <= 0 のとき、3a-1 <= 2t <= 3a+1 より
f(a) = a^2 が最小値であり、f*1,(a+x,1/(a+x))と通る直線とt=a-x, t=a+x で囲まれた台形部分の面積を計算するとx(1/(a+x)+1/(a-x))
よって不等式は成立。

(2) x=1/6 a=7/6, 9/6, 11/6 として不等式を適用すると
2/6(6/7 + 6/9 + 6/11) < \int_1^2 dt/t < 1/6{(1+6/8)+(6/8+6/10)+(6/10+6/12)}
を計算するとできると思う。

*1:3a+1)/2) = 3/2 a^2 + a + 1/2 a^2 <= b <= 3/2 a^2 + a + 1/2 (iv) 0 < a < 1/3 のとき a^2 <= b <= 3/2 a^2 - a + 1/2 (v) 1/3 <= a <= 1 のとき a^2 <= b <= 3a^2 - 4a + 2 [4](1) (P+Q)A = (P+Q)(aP+(a+1)Q)=aP+(a+1)Q=A (2) det A = a(a+1) > 0 だからAは逆行列をもつので、(P+Q)=(P+Q)AA^{-1}=AA^{-1}=E。 A=aP+(a+1)Q と P+Q=E から P = (a+1)E - A = (1,0,-1,0), Q = E-P = (0,0,1,1) (3) PとQを(2)で求めたものとすると、各 k に対して、A_k = kP + (k+1)Q である。 よって、求める積は [\tex: \prod_{k=2}^n A_k = \prod_{k=2}^n (kP+(k+1)Q) = n! P + (n+1)!/2 Q = (n!, 0, (n+1)!/2-n!, (n+1)!/2)] [5](1) m = n のときは全て表がでる確率なので p_m = p^m。 m < n のときは n-m回目に裏が出て、残りのm回は全て表となる確率なので p_m = (1-p)p^m。 (2) m = n のときは常に高さはm以下なので q_m = 1。 m < n のときは q_m = \sum_{k=0}^m p_k = \sum_{k=0}^m (1-p)p^m = 1-p^{m+1}。 (3) 高いほうのブロックの高さが m 以下となる確率を s_m とすると、 最初の結果が m 以下でありかつ二度目の結果が m 以下である確率であり、二つの結果は独立なので (i)m = n のときは s_m = 1。 (ii)m < n のときは s_m = q_m{}^2。 m >=1 のとき、ちょうど m になる確率は r_m = s_m - s_{m-1} だから、結局 (i) m = 0 のとき r_m = s_m = (1-p)^2 (ii) 1 <= m < n のとき r_m = s_m - s_{m-1} = (1-p^{m+1})^2 - (1-p^m)^2 (iii) m = n のときは r_m = s_m - s_{m-1} = 1 - (1-p^m)^2 [6](1) f(t) = 1/t の t=a における接線 y = -(t-a)/a^2 + 1/a は f(t)の下にある。 その接線と t=a-x, t=a+x で囲まれた台形部分の面積を計算すると 2x/a (a-x,1/(a-x