コラッツ予想の証明が流行ってるので解読中

色々あって解決した

途中で書いたコラッツ計算機
https://spreadsheets.google.com/ccc?key=0AodXTYWJICjQdGZqeEFTNGFQT2tYSXNlQnRDYS1kemc&hl=en

以下メモ

証明(0) 略 Xn = (3Xn+1)/2^mnとする。

この段落は忘れてよい。 $X_0$ に関する仮定は最後の最後まで使わないぽいので、以下 $X_n$ は任意の奇数、 $m_n$ は $3X_n+1$ を何回2で割れるかと思って読めばいいっぽい。

証明(1) n>0のときX_nは6を法として1または5と合同である

この証明はさっぱり証明になってるのか理解不能なのだが、いいたいことは

任意の奇数 $x$ に対して、 $3x+1$ が奇数になるまで $2$ で割って $y$ になったとすると、 $y$ を6で割ったあまりは1か5である

$y$ は3で割り切れない奇数なので自明。

証明(2) すべての $X_n$ が $(10\cdot 4^{r-1})/3$ $\pmod{4^r}$ か $(4^r-1)/3$ $\pmod{2\cdot 4^r$ と合同である

これもすべての奇数 $x$ に対して成立するけど次で別な風に使わないといけないから後回し

約数関数の定義

このへんよく分からん

$m_n \equiv 1 \pmod{2}$ のときなんたらかんたら

解読すると、任意の奇数 $x$ に対し、 $k$ と $m$ を
$3x+1 = (2k+1)2^m$
で定めると、
$m$ が奇数のときは、
$x \equiv (5\cdot 2^m - 1)/3 \quad\pmod{2^{m+1}}$
であり、偶数のときは
$x \equiv (2^m - 1)/3 \quad\pmod{2^{m+1}}$
である。たぶん証明できる。

Proof.
$3x+1 = (2k+1)2^m$ より
$3x+1 \equiv (2k+1)2^m \equiv 2^m \equiv (4+1)2^m \equiv 5\cdot 2^m \qquad\pmod{2^{m+1}}$
よって、
$3x \equiv 2^m - 1 \equiv 5\cdot 2^m -1 \qquad\pmod{2^{m+1}}$
ここで、
(i) $m$ が奇数のとき、 $5\cdot 2^m-1$ は3で割り切れるので
$x \equiv (5\cdot 2^m - 1)/3 \quad\pmod{2^{m+1}}$
(ii) $m$ が偶数のとき、 $2^m-1$ は3で割り切れるので
$x \equiv (2^m - 1)/3 \quad\pmod{2^{m+1}}$
Qed.

j'nを定義

ようするにここまではおｋ

あああああああああああああああああああああああ、これより上は証明しなくてもいいところだったっぽい。

いいたいことは

$X_n, a_n, a'_n$ : 自然数数列
に対して、除算して
$X_n = a_n j_n + b_n$
と
$X_n = a'_n j'_n + b'_n$
によって、 $j_n, j'_n, b_n, b'_n$ を定めたとする。
$A_n = lcm(a_n, a'_n)$
として、除算して
$X_n = A_n j_n + B_n$
によって、 $j_n, B_n$ を定める。
$(rb)_n = (B_n-b_n)/a_n$
として(割り切れるよ)。
$(ra)_n = ((rb)_n-(ej)_n)/(ej)_{n+1}$
とする(割り切れるのかなあ…負になるかも)
$(ej)_n = (ra)_n (ej)_{n+1} + (rb)_n$
となるから、
$X_1 =$
あーー。さっぱり分からん。次のバージョンを待とう。