とりあえず簡単そうなのから順番に

数

http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/old_problems/old_problems.pdf

Prob 2

単位円周 x^2+y^2=1 の無限部分集合 X で、X の任意の二点の距離が常に有理数であるものをみつけろ。


\{(cos(t), sin(t)) \in S^1\, :\, \sin(t/2), \cos(t/2) \in \mathbb{Q}\}

が角度の和に関して閉じていて、ピタゴラス数が無限にあるから無限集合で、条件も満たしてるはず。