twitterでk.inabaさんから送られてきた問題。

の証明をtwitterに書くのは余白が足りなすぎるので、ここにメモ。

問題: http://twitter.com/t33f/statuses/895165259

記号が分かりにくいので以下∧で書くことにする。条件は

0∧0 = 0
a∧b = b∧a
(a∧b)∧c = a∧(b∧c)
(a∧b)+c = (a+c)∧(b+c)

以下、証明

ゼロでない有理数 r で r∧0 = 0 となるものが存在する。

1∧0 = 1 ならば r=-1 とすれば
 r∧0 = (-1)∧0 = (0∧1)-1 = 0.

1∧0 <> 1 ならば -r = (1∧0)-1 = 0∧(-1) とすれば
 r∧0 = (0∧(-r)) + r = (0∧0∧(-1)) - (0∧(-1)) = 0.


n(a∧b) = (a∧b)+(a∧b)+…+(a∧b) = (na)∧{(n-1)a+b}∧{(n-2)a+2b}∧…∧{a+(n-1)b}∧(nb)
を使って

2以上の自然数 n に対して、
n((r/n)∧0) = r∧{(n-1)r/n}∧{(n-2)r/n}∧…∧{r/n}∧0
            = {(n-1)r/n}∧{(n-2)r/n}∧…∧{r/n}∧0
            = (n-1)((r/n)∧0)
より
 (r/n)∧0 = 0

また x∧0 = 0 かつ y∧0 = 0 ならば
 (x+y)∧0 = (x+y)∧(x+0)∧(y+0)∧0 = (x∧0)+(y∧0) = 0

よって任意の正有理数 q に対して (qr)∧0 = 0, (-qr)∧0 = -qr となるから
r > 0 ならば、x∧0 = min(x,0)
r < 0 ならば、x∧0 = max(x,0)

おしまい